«Восток» является единственным кинотеатром в небольшом городе. Спрос на билеты на каждый сеанс нового фильма имеет вид Q = 1000 – 4P, где Q — количество зрителей, а P — цена в рублях. Вместимость единственного зала в кинотеатре составляет 200 мест, на организацию каждого сеанса кинотеатр несет издержки 10 000 рублей. Какую цену за билет следует установить кинотеатру для максимизации прибыли? (Укажите ответ в рублях.)
Для максимизации прибыли кинотеатру следует установить цену билета так, чтобы спрос равнялся предложению. Для этого найдем равновесие на рынке, при котором Q = 200 (вместимость зала).
Из уравнения спроса Q = 1000 - 4P: 1000 - 4P = 200 4P = 800 P = 200
Теперь найдем прибыль кинотеатра при этой цене: Прибыль = (P - 10000) Q Прибыль = (200 - 10000) 200 Прибыль = 200 * 200 Прибыль = 40000 рублей
Таким образом, кинотеатру следует установить цену билета в 200 рублей для максимизации прибыли.
Для решения задачи максимизации прибыли кинотеатра "Восток" необходимо учесть спрос на билеты, вместимость зала и издержки на проведение сеанса.
Определение функции прибыли:
Прибыль ( \Pi ) можно выразить как разность между выручкой и издержками на сеанс:
[ \Pi = \text{Выручка} - \text{Издержки} ]
Выручка равна произведению цены билета ( P ) на количество проданных билетов ( Q ):
[ \text{Выручка} = P \times Q ]
Издержки на организацию каждого сеанса даны и составляют 10 000 рублей.
Таким образом, функция прибыли:
[ \Pi = P \times Q - 10,000 ]
Подстановка функции спроса:
Функция спроса дана как ( Q = 1000 - 4P ). Подставим её в функцию прибыли:
[ \Pi = P \times (1000 - 4P) - 10,000 ]
Упростим выражение:
[ \Pi = 1000P - 4P^2 - 10,000 ]
Максимизация прибыли:
Для нахождения цены, при которой прибыль максимальна, нужно взять производную функции прибыли по ( P ) и приравнять её к нулю:
[ \frac{d\Pi}{dP} = 1000 - 8P = 0 ]
Решим это уравнение:
[ 1000 = 8P \quad \Rightarrow \quad P = \frac{1000}{8} = 125 ]
Проверка условий вместимости:
Теперь необходимо проверить, сколько билетов будет продано по цене 125 рублей и соответствует ли это вместимости зала. Подставим ( P = 125 ) в уравнение спроса:
[ Q = 1000 - 4 \times 125 = 1000 - 500 = 500 ]
Поскольку вместимость зала составляет 200 мест, 500 проданных билетов превышает эту вместимость. Следовательно, необходимо установить цену, при которой количество зрителей не превышает 200.
Актуализация цены с учетом вместимости:
Подставим вместимость зала в уравнение спроса:
[ 200 = 1000 - 4P ]
Решим уравнение для ( P ):
[ 4P = 1000 - 200 = 800 \quad \Rightarrow \quad P = \frac{800}{4} = 200 ]
Таким образом, для максимизации прибыли при условии заполненности зала кинотеатру следует установить цену за билет в 200 рублей.
