Студент, получающий стипендию в размере 2400 рублей, полностью тратит ее на потребление шоколадок и...

Чтобы определить, какое количество шоколадок и апельсинового сока сможет приобрести студент, мы должны учесть бюджетное ограничение и максимизацию полезности.

Шаг 1: Установление бюджетного ограничения

Студент получает стипендию в размере 2400 рублей и тратит ее полностью на покупку шоколадок и апельсинового сока.

• Цена одной шоколадки (x) = 40 рублей
• Цена одного стакана апельсинового сока (y) = 60 рублей

Бюджетное ограничение можно записать следующим образом:

[ 40x + 60y = 2400 ]

Шаг 2: Функция полезности

Функция общей полезности студента представлена как:

[ TU = xy ]

Цель студента — максимизировать свою полезность при данном бюджетном ограничении.

Шаг 3: Решение задачи максимизации полезности

Для максимизации полезности при условии бюджетного ограничения используем метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа будет выглядеть следующим образом:

[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = xy + \lambda (2400 - 40x - 60y) ]

Для нахождения максимума, необходимо найти частные производные и приравнять их к нулю:

1. Производная по ( x ): [ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 40\lambda = 0 ] [ y = 40\lambda ]

2. Производная по ( y ): [ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 60\lambda = 0 ] [ x = 60\lambda ]

3. Производная по ( \lambda ): [ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2400 - 40x - 60y = 0 ]

Получаем систему уравнений:

[ y = 40\lambda ] [ x = 60\lambda ] [ 2400 = 40x + 60y ]

Подставим выражения для ( x ) и ( y ) в бюджетное ограничение:

[ 2400 = 40(60\lambda) + 60(40\lambda) ] [ 2400 = 2400\lambda ]

Решаем уравнение для ( \lambda ):

[ \lambda = 1 ]

Теперь подставим значение ( \lambda ) в уравнения для ( x ) и ( y ):

[ x = 60 \times 1 = 60 ] [ y = 40 \times 1 = 40 ]

Ответ

Рациональный студент, максимизируя свою полезность, приобретет 60 шоколадок и 40 стаканов апельсинового сока.

Для нахождения оптимального количества шоколадок и сока, которые сможет приобрести студент, нужно определить их оптимальное соотношение, при котором общая полезность будет максимальной.

Пусть x - количество шоколадок, y - количество сока. Тогда бюджет студента можно выразить уравнением: 40x + 60y = 2400.

Также, общая полезность TU = xy. Чтобы найти максимум функции общей полезности, нужно взять производные по x и y и приравнять их к нулю:

d(TU)/dx = y = 0 d(TU)/dy = x = 0

Отсюда получаем, что y = 0 и x = 0. Однако, так как студент должен потратить всю стипендию, у нас имеется ограничение, что 40x + 60y = 2400.

Из уравнения бюджета найдем, что x = 60 - 1.5y.

Подставив это значение x в уравнение общей полезности, получаем TU = (60 - 1.5y)y = 60y - 1.5y^2.

Для нахождения максимума функции общей полезности, найдем производную и приравняем ее к нулю:

d(TU)/dy = 60 - 3y = 0 y = 20

Подставим значение y обратно в уравнение бюджета, чтобы найти количество шоколадок:

40x + 60*20 = 2400 40x = 1200 x = 30

Таким образом, рациональный студент приобретет 30 шоколадок и 20 пакетов сока, чтобы достичь максимальной общей полезности при заданных ценах и бюджете.