Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом 5 и в третьем 2 вакантных места? (Пожалуйста с пошаговым решением и окончательным ответом)
Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом 5 и в третьем 2 вакантных места? (Пожалуйста с пошаговым решением и окончательным ответом)
Для решения задачи о распределении 15 выпускников по трем районам с заданным количеством вакантных мест в каждом из них (8, 5 и 2 места соответственно) мы можем использовать комбинаторный подход. Давайте рассмотрим это пошагово.
Выбор 8 выпускников для первого района: Сначала нам нужно выбрать 8 выпускников из 15, которые будут направлены в первый район. Количество способов, которыми можно выбрать 8 человек из 15, определяется числом сочетаний ( C(n, k) ), где ( n ) - общее количество элементов, а ( k ) - количество выбираемых элементов. Формула для расчета числа сочетаний: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] Подставляя значения, получаем: [ C(15, 8) = \frac{15!}{8!7!} ] Посчитаем это значение.
Выбор 5 выпускников для второго района: После того как 8 выпускников были выбраны для первого района, остается 7 выпускников. Из этих 7 нужно выбрать 5 человек, которые будут направлены во второй район. Аналогично используем формулу сочетаний: [ C(7, 5) = \frac{7!}{5!2!} ] Посчитаем это значение.
Выбор 2 выпускников для третьего района: Оставшиеся 2 выпускника автоматически направляются в третий район. Количество способов выбрать 2 человек из 2 равно: [ C(2, 2) = \frac{2!}{2!0!} = 1 ] Так как это единственный возможный способ.
Расчет общего количества способов: Чтобы найти общее количество способов распределить 15 выпускников по трем районам, умножим количество способов для каждого выбора: [ C(15, 8) \times C(7, 5) \times C(2, 2) ]
Теперь давайте вычислим численные значения:
Теперь умножим полученные числа:
Таким образом, существует 135135 способов распределить 15 выпускников по трем районам, где в одном из них имеется 8, в другом 5 и в третьем 2 вакантных места.
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой сочетаний с повторениями.
Представим каждый район как ящик, в который мы будем распределять выпускников. Первый район с 8 местами - это ящик A, второй район с 5 местами - ящик B, и третий район с 2 местами - ящик C.
Для каждого выпускника у нас есть три варианта, в какой район его отправить. Таким образом, у нас есть 3^15 (или 3 в степени 15) способов распределить выпускников по районам.
Однако, нам нужно учесть ограничения по количеству мест в каждом районе. Для этого мы можем воспользоваться формулой сочетаний с повторениями.
Представим, что у нас есть 15 "шариков" (выпускников) и 2 "перегородки" (ограничения по количеству мест в районах). Мы должны разместить эти 15 шариков и 2 перегородки вместе. Тогда количество способов это сделать будет равно C(15+2, 2) = C(17, 2) = 136.
Итак, окончательный ответ: существует 136 3^15 = 136 14,348,907 способов распределить 15 выпускников по трем районам при условии, что в одном районе 8 мест, в другом 5 мест и в третьем 2 места.
