Потребитель тратит свой доход в размере 100 руб. на приобретение молока и хлеба. Стоимость продуктов...

Для анализа изменения оптимального набора потребителя при увеличении его дохода в 2 раза, необходимо сначала определить оптимальный набор при исходном доходе, а затем при увеличенном доходе.

1. Исходная ситуация:

   • Доход потребителя (I) = 100 руб.
   • Цена молока (Pм) = 10 руб/л
   • Цена хлеба (Pхл) = 5 руб/кг
   • Функция полезности: U(xм, xхл) = xм^(1/4) * xхл^(1/2)

   Для максимизации полезности потребителя мы используем метод Лагранжа. Функция Лагранжа формулируется следующим образом:

   L(xм, xхл, λ) = xм^(1/4) xхл^(1/2) + λ (I - Pм xм - Pхл * xхл)

   Подставляем значения:

   L(xм, xхл, λ) = xм^(1/4) xхл^(1/2) + λ (100 - 10 xм - 5 * xхл)

2. Найдем частные производные и приравняем их к нулю:

   ∂L/∂xм = (1/4) xм^(-3/4) xхл^(1/2) - 10λ = 0 ∂L/∂xхл = (1/2) xм^(1/4) xхл^(-1/2) - 5λ = 0 ∂L/∂λ = 100 - 10 xм - 5 xхл = 0

   Решаем систему уравнений. Из первых двух уравнений можно выразить λ:

   λ = (1/4) xм^(-3/4) xхл^(1/2) / 10 λ = (1/2) xм^(1/4) xхл^(-1/2) / 5

   Приравниваем эти две формы выражения λ:

   (1/4) xм^(-3/4) xхл^(1/2) / 10 = (1/2) xм^(1/4) xхл^(-1/2) / 5

   Упрощаем:

   (1/40) xм^(-3/4) xхл^(1/2) = (1/10) xм^(1/4) xхл^(-1/2)

   Умножим обе части на 40 и упростим:

   xм^(-3/4) xхл^(1/2) = 4 xм^(1/4) * xхл^(-1/2)

   Умножим обе части на xм^(3/4) * xхл^(1/2):

   xхл = 4 * xм

   Подставим в бюджетное ограничение:

   100 = 10 xм + 5 (4 xм) 100 = 10 xм + 20 xм 100 = 30 xм xм = 100 / 30 ≈ 3.33 л

   xхл = 4 xм ≈ 4 3.33 ≈ 13.33 кг

3. Новая ситуация (доход увеличен в 2 раза):

   • Новый доход (I') = 200 руб.

   Повторяем аналогичные шаги для новой ситуации.

   Бюджетное ограничение:

   200 = 10 xм + 5 xхл

   Подставляем xхл = 4 * xм:

   200 = 10 xм + 5 (4 xм) 200 = 10 xм + 20 xм 200 = 30 xм xм' = 200 / 30 ≈ 6.67 л

   xхл' = 4 xм' ≈ 4 6.67 ≈ 26.67 кг

Итак, при увеличении дохода в 2 раза оптимальный набор потребителя изменится следующим образом:

• Количество молока возрастет с 3.33 л до 6.67 л.
• Количество хлеба возрастет с 13.33 кг до 26.67 кг.

Для определения оптимального набора потребителя при изменении его дохода в 2 раза, мы можем использовать условия оптимальности потребления, которые описываются условием равенства предельной полезности к цене каждого товара.

Для начала определим предельные полезности каждого товара: MUм = dU/dxм = 1/4 xм^(-3/4) xхл^(1/2) MUхл = dU/dxхл = 1/2 xм^(1/4) xхл^(-1/2)

Теперь найдем оптимальный набор потребителя для исходного дохода: Уравнение равенства предельной полезности к цене для молока: MUм / Рм = MUхл / Рхл (1/4 xм^(-3/4) xхл^(1/2)) / 10 = (1/2 xм^(1/4) xхл^(-1/2)) / 5 xм / 4 = xхл / 2 xм = 2xхл

Подставим полученное выражение для xм в уравнение бюджетного ограничения: 10xм + 5xхл = 100 10(2xхл) + 5xхл = 100 25xхл = 100 xхл = 4 кг xм = 8 л

Таким образом, исходный оптимальный набор потребителя для молока составляет 8 литров и для хлеба 4 кг.

Теперь рассмотрим изменение оптимального набора потребителя при увеличении его дохода в 2 раза: Поскольку функция полезности является гомогенной степени 1, то оптимальный набор товаров также увеличится в 2 раза. Таким образом, новый оптимальный набор потребителя будет составлять 16 литров молока и 8 кг хлеба.

При увеличении дохода в 2 раза, оптимальный набор потребителя также увеличится в 2 раза.