Обратная функция спроса Р(q) = 80 - 2q, функция издержек в краткосрочном периоде ТС = 38q + q2 +50

Для анализа экономической задачи, в которой заданы обратная функция спроса и функция издержек, мы можем рассмотреть несколько ключевых аспектов: вычисление прибыли, нахождение оптимального количества выпускаемой продукции, а также определение цены, по которой продукция будет продаваться.

1. Обратная функция спроса

Обратная функция спроса ( P(q) = 80 - 2q ) показывает зависимость цены ( P ) от количества проданного товара ( q ). Функция имеет убывающий характер, что отражает закон спроса: при увеличении объема продаваемого товара цена, которую потребители готовы платить, снижается.

2. Функция издержек

Функция издержек в краткосрочном периоде задается как ( TC = 38q + q^2 + 50 ). Она включает:

• Переменные издержки: ( 38q + q^2 ), которые зависят от объема производства ( q ).
• Постоянные издержки: 50, которые неизменны независимо от объема производства.

3. Вычисление прибыли

Прибыль ( \pi ) рассчитывается как разница между валовым доходом (выручкой) и общими издержками:

[ \pi(q) = TR(q) - TC(q) ]

где ( TR(q) ) — валовый доход, который вычисляется как цена умноженная на количество: ( TR(q) = P(q) \cdot q = (80 - 2q)q = 80q - 2q^2 ).

Подставим функции в формулу прибыли:

[ \pi(q) = (80q - 2q^2) - (38q + q^2 + 50) ]

Упростим выражение:

[ \pi(q) = 80q - 2q^2 - 38q - q^2 - 50 = 42q - 3q^2 - 50 ]

4. Оптимальный объем производства

Чтобы найти оптимальный объем производства, необходимо максимизировать функцию прибыли. Для этого найдем первую производную функции прибыли и приравняем ее к нулю:

[ \pi'(q) = 42 - 6q = 0 ]

Решая уравнение, получаем:

[ 6q = 42 \ q = 7 ]

5. Определение оптимальной цены

Подставим найденное значение ( q = 7 ) в обратную функцию спроса для определения цены:

[ P(7) = 80 - 2 \times 7 = 80 - 14 = 66 ]

6. Подсчет максимальной прибыли

Подставим ( q = 7 ) в функцию прибыли:

[ \pi(7) = 42 \times 7 - 3 \times 7^2 - 50 ] [ \pi(7) = 294 - 147 - 50 = 97 ]

Таким образом, при объеме производства 7 единиц товара цена будет 66, а максимальная прибыль составит 97 денежных единиц.

Для определения оптимального уровня выпуска и цены продукции в краткосрочном периоде необходимо найти точку равновесия между функцией спроса и функцией издержек.

Сначала найдем точку равновесия, приравняв функцию спроса к функции издержек: 80 - 2q = 38q + q^2 + 50

Это уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения: q^2 + 40q - 30 = 0

Решив это уравнение, найдем оптимальный уровень выпуска. После этого можно будет найти цену продукции, подставив найденное значение q в функцию спроса.

Далее, после нахождения оптимального уровня выпуска и цены, можно проанализировать прибыль предприятия, вычислив разность между выручкой (произведение цены и объема продаж) и издержками (функция издержек).

Таким образом, путем анализа функции спроса и функции издержек в краткосрочном периоде можно определить оптимальный уровень выпуска и цены продукции, а также оценить прибыльность предприятия.

Чтобы найти равновесное количество продукции и цену, необходимо найти точку пересечения кривых спроса и издержек. Решив уравнение Р(q) = ТС, найдем q и затем подставим его обратно в уравнение Р(q) для определения цены.