Каким будет оптимальный набор потребителя, если его функция полезности равна U=X1/3Y2/3, а бюджетное...

Для нахождения оптимального набора потребителя необходимо решить задачу оптимизации, где функция полезности представлена как U = X^(1/3) * Y^(2/3), а бюджетное ограничение равно 2X + 3Y = 18.

Сначала преобразуем бюджетное ограничение, чтобы выразить одну из переменных через другую. Для этого выразим X через Y: X = (18 - 3Y) / 2.

Теперь подставим это выражение для X в функцию полезности: U = ((18 - 3Y) / 2)^(1/3) * Y^(2/3).

Далее необходимо найти производные функции полезности по Y и приравнять их к нулю, чтобы найти точку экстремума. Вычислим производные:

dU/dY = (1/3) ((18 - 3Y) / 2)^(-2/3) (-3/2) Y^(2/3) + (2/3) ((18 - 3Y) / 2)^(1/3) Y^(-1/3). dU/dY = (-1/2) ((18 - 3Y) / 2)^(-2/3) Y^(2/3) + (2/3) ((18 - 3Y) / 2)^(1/3) * Y^(-1/3).

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение для Y:

(-1/2) ((18 - 3Y) / 2)^(-2/3) Y^(2/3) + (2/3) ((18 - 3Y) / 2)^(1/3) Y^(-1/3) = 0.

После нахождения Y, подставляем его обратно в выражение для X и находим оптимальный набор потребителя (X, Y), который максимизирует функцию полезности U при данном бюджетном ограничении.

Чтобы определить оптимальный набор потребителя при заданной функции полезности и бюджетном ограничении, нужно решить задачу максимизации полезности при данном бюджетном ограничении. Ваша функция полезности задана как ( U = X^{1/3}Y^{2/3} ), а бюджетное ограничение — ( 2x + 3y = 18 ).

1. Постановка задачи

Формально задача максимизации полезности при бюджетном ограничении выглядит так:

Максимизировать ( U = X^{1/3}Y^{2/3} )

при условии, что ( 2x + 3y = 18 ).

2. Метод Лагранжа

Для решения этой задачи мы используем метод Лагранжа. Сформируем лагранжиан:

[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = X^{1/3}Y^{2/3} + \lambda (18 - 2x - 3y) ]

где (\lambda) — это множитель Лагранжа.

3. Найдем частные производные и приравняем их к нулю

Найдем частные производные лагранжиана по (x), (y) и (\lambda) и приравняем их к нулю:

1. (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{1}{3}X^{-2/3}Y^{2/3} - 2\lambda = 0)
2. (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{2}{3}X^{1/3}Y^{-1/3} - 3\lambda = 0)
3. (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 18 - 2x - 3y = 0)

4. Решаем систему уравнений

Из первых двух уравнений выразим (\lambda):

[ \lambda = \frac{1}{6}X^{-2/3}Y^{2/3} ]

[ \lambda = \frac{2}{9}X^{1/3}Y^{-1/3} ]

Приравняем выражения для (\lambda):

[ \frac{1}{6}X^{-2/3}Y^{2/3} = \frac{2}{9}X^{1/3}Y^{-1/3} ]

Упростим это уравнение:

[ \frac{1}{6} \cdot \frac{Y}{X} = \frac{2}{9} ]

Решим относительно (Y):

[ \frac{Y}{X} = \frac{2}{9} \cdot 6 = \frac{4}{3} ]

Отсюда получаем уравнение:

[ Y = \frac{4}{3}X ]

5. Подставим в бюджетное ограничение

Теперь подставим (Y = \frac{4}{3}X) в бюджетное ограничение:

[ 2x + 3\left(\frac{4}{3}x\right) = 18 ]

[ 2x + 4x = 18 ]

[ 6x = 18 ]

[ x = 3 ]

Подставим значение (x) в уравнение для (Y):

[ Y = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4 ]

6. Результат

Оптимальный набор потребителя будет (x = 3) и (y = 4).

Таким образом, при заданной функции полезности и бюджетном ограничении, оптимальный набор потребителя (максимизирующий его полезность) состоит из 3 единиц товара (X) и 4 единиц товара (Y).