Функция спроса на продукцию фирмы-монополиста P=200-Q. Общие издержки фирмы TC=100+3Q. При каких P и...

Для нахождения максимальной прибыли фирмы-монополиста необходимо использовать следующий подход:

1. Определение функции прибыли: Прибыль ((\pi)) равна разности между общими доходами (TR) и общими издержками (TC). Функция общего дохода (TR = P \times Q = (200 - Q) \times Q = 200Q - Q^2). Общие издержки уже даны: (TC = 100 + 3Q). Таким образом, функция прибыли будет: [ \pi = TR - TC = (200Q - Q^2) - (100 + 3Q) = 197Q - Q^2 - 100 ]

2. Нахождение максимума функции прибыли: Для нахождения максимальной прибыли необходимо взять первую производную функции прибыли по Q и приравнять её к нулю (для нахождения критических точек), а затем проверить вторую производную (для определения максимума или минимума). [ \frac{d\pi}{dQ} = 197 - 2Q ] Приравниваем к нулю: [ 197 - 2Q = 0 \Rightarrow Q = 98.5 ]

3. Подстановка Q в функцию цены: Чтобы найти соответствующую цену P, подставим (Q = 98.5) в уравнение спроса: [ P = 200 - Q = 200 - 98.5 = 101.5 ]

4. Проверка второй производной: Чтобы удостовериться, что это значение Q действительно соответствует максимальной прибыли, проверим вторую производную: [ \frac{d^2\pi}{dQ^2} = -2 ] Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что при (Q = 98.5) и (P = 101.5) прибыль достигает максимума.

Таким образом, фирма-монополист получит максимальную прибыль при (Q = 98.5) и (P = 101.5).

Для определения максимальной прибыли фирмы-монополиста необходимо найти точку, где маржинальный доход (MR) равен маржинальным издержкам (MC).

Для нахождения MR используем формулу: MR = d(TR) / d(Q), где TR - общая выручка фирмы, а Q - количество продукции. TR = P Q, где P - цена продукции. Таким образом, MR = d(P Q) / d(Q) = P + Q * dP / dQ. Из функции спроса P=200-Q найдем, что dP / dQ = -1, следовательно MR = 200 - 2Q.

MC = d(TC) / d(Q) = 3.

Уравнивая MR и MC, получаем уравнение: 200 - 2Q = 3. Отсюда находим Q = 98.5. Подставляя это значение в функцию спроса, получаем P = 101.5.

Итак, фирма-монополист получит максимальную прибыль при цене продукции P = 101.5 и количестве продукции Q = 98.5.