Функция рыночного спроса на бензин PD=12-2q,а функция предложения PS=4+2q. Какой должна быть налоговая ставка на продажу одной ед.товара,чтобы общая величина выручкой продавцов была максимальной?
Функция рыночного спроса на бензин PD=12-2q,а функция предложения PS=4+2q. Какой должна быть налоговая ставка на продажу одной ед.товара,чтобы общая величина выручкой продавцов была максимальной?
Для того чтобы определить налоговую ставку, при которой общая выручка продавцов будет максимальной, необходимо рассмотреть несколько аспектов: как налог влияет на цену, количество проданного товара, а также на выручку продавцов.
Функции спроса и предложения без налога: [ PD = 12 - 2q ] [ PS = 4 + 2q ]
В точке равновесия ( PD = PS ): [ 12 - 2q = 4 + 2q ] [ 12 - 4 = 4q ] [ q = 2 ]
Найдём равновесную цену: [ PD = 12 - 2(2) = 8 ] [ PS = 4 + 2(2) = 8 ]
Таким образом, без налога равновесное количество ( q = 2 ) и равновесная цена ( P = 8 ).
Пусть ( t ) — налог на продажу одной единицы товара. Тогда цена, которую платят покупатели, будет ( P_D = P + t ), а цена, которую получают продавцы, будет ( P_S = P ). Нам нужно найти новую точку равновесия.
Обновленные функции спроса и предложения с учетом налога: [ P_D = 12 - 2q ] [ P_S = 4 + 2q ]
В точке равновесия: [ P_D = P_S + t ] [ 12 - 2q = 4 + 2q + t ] [ 12 - 4 - t = 4q ] [ 8 - t = 4q ] [ q = \frac{8 - t}{4} ]
Выручка продавцов ( R ) определяется как: [ R = P_S \times q ]
Подставим выражение для ( q ): [ P_S = 4 + 2q ] [ P_S = 4 + 2 \left(\frac{8 - t}{4}\right) ] [ P_S = 4 + \frac{2(8 - t)}{4} ] [ P_S = 4 + \frac{16 - 2t}{4} ] [ P_S = 4 + 4 - \frac{t}{2} ] [ P_S = 8 - \frac{t}{2} ]
Теперь подставим ( P_S ) и ( q ) в формулу выручки: [ q = \frac{8 - t}{4} ] [ R = (8 - \frac{t}{2}) \times \frac{8 - t}{4} ] [ R = \frac{(8 - \frac{t}{2})(8 - t)}{4} ] [ R = \frac{(8 - t)(8 - \frac{t}{2})}{4} ] [ R = \frac{(64 - 4t - 8t + \frac{t^2}{2})}{4} ] [ R = \frac{64 - 12t + \frac{t^2}{2}}{4} ] [ R = 16 - 3t + \frac{t^2}{8} ]
Нам нужно найти значение ( t ), которое максимизирует функцию ( R ). Для этого возьмем производную ( R ) по ( t ) и найдем, при каком значении производная равна нулю.
[ \frac{dR}{dt} = -3 + \frac{t}{4} ]
Приравняем производную к нулю: [ -3 + \frac{t}{4} = 0 ] [ \frac{t}{4} = 3 ] [ t = 12 ]
Таким образом, налоговая ставка ( t ) должна быть равна 12, чтобы максимизировать выручку продавцов.
Для нахождения оптимальной налоговой ставки на продажу одной единицы товара, чтобы общая выручка продавцов была максимальной, необходимо рассмотреть условия равновесия на рынке.
На рынке равновесие достигается тогда, когда спрос равен предложению, то есть PD = PS. Подставим данные функции спроса и предложения:
12-2q = 4+2q
Решив это уравнение, получаем q = 1. Теперь найдем цену равновесия, подставив q обратно в любую из функций:
P = 12 - 2*1 = 10
Таким образом, равновесная цена на рынке равна 10 у.е. Теперь найдем общую величину выручки продавцов. Для этого умножим цену на количество проданных единиц:
Выручка = Pq = 101 = 10 у.е.
Теперь нужно найти оптимальную налоговую ставку, которая максимизирует выручку продавцов. Пусть налоговая ставка на продажу одной единицы товара равна t. Тогда цена для покупателя будет P = (12-t) - 2q, а для продавца P = (10-t) - 2q.
Общая величина выручки продавцов будет равна:
Выручка = Pq = ((10-t)-2q)q = 10q - tq - 2q^2
Для нахождения максимальной выручки продавцов необходимо найти производную этой функции по q и приравнять её к нулю:
d(10q - tq - 2q^2)/dq = 10 - 2t - 4q = 0
Отсюда находим q = (10-2t)/4 = 2.5 - 0.5t. Подставляем это значение обратно в функцию выручки и найдем оптимальную налоговую ставку:
Выручка = 102.5 - t2.5 - 2(2.5 - 0.5t)^2 = 25 - 2.5t - 2(6.25 - 5t + t^2)
Выручка = 25 - 2.5t - 12.5 + 10t - 2t^2 = -2t^2 + 7.5t + 12.5
Теперь находим производную этой функции и приравниваем её к нулю, чтобы найти оптимальную налоговую ставку:
d(-2t^2 + 7.5t + 12.5)/dt = -4t + 7.5 = 0
Отсюда t = 7.5/4 = 1.875 у.е.
Таким образом, оптимальная налоговая ставка на продажу одной единицы товара должна быть равна 1.875 у.е., чтобы общая выручка продавцов была максимальной.
