Фирма находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат имеет вид: ТС = 0,1Q2 + 15Q...

Чтобы определить объем производства продукции, который выберет фирма, находящаяся в условиях совершенной конкуренции, следует использовать базовые экономические принципы, а именно: максимизация прибыли. В условиях совершенной конкуренции фирма принимает цену рынка как данность, и её цель — выбрать такой объем производства, при котором её прибыль будет максимальной. Прибыль достигает максимума, когда предельный доход (MR) равен предельным издержкам (MC).

Дано:

1. Цена товара ( P = 25 ) (в условиях совершенной конкуренции цена равна предельному доходу, ( P = MR )).
2. Функция общих затрат: [ TC = 0,1Q^2 + 15Q + 10 ]

Найти:

Объем производства ( Q^* ), при котором фирма максимизирует прибыль.

Шаг 1: Найдём предельные издержки (MC)

Предельные издержки — это производная функции общих затрат (( TC )) по объему производства (( Q )): [ MC = \frac{d(TC)}{dQ} ]

Вычислим производную: [ MC = \frac{d}{dQ}(0,1Q^2 + 15Q + 10) = 0,2Q + 15 ]

Итак, функция предельных издержек: [ MC = 0,2Q + 15 ]

Шаг 2: Равенство предельного дохода (MR) и предельных издержек (MC)

В условиях совершенной конкуренции предельный доход равен рыночной цене, то есть ( MR = P ). Следовательно, равенство для максимизации прибыли: [ MC = P ]

Подставим выражение для ( MC ) и значение ( P ): [ 0,2Q + 15 = 25 ]

Шаг 3: Решим уравнение

[ 0,2Q = 25 - 15 ] [ 0,2Q = 10 ] [ Q = \frac{10}{0,2} = 50 ]

Шаг 4: Проверим экономический смысл

Полученный объем производства ( Q = 50 ) соответствует условию равенства ( MC = MR ) и максимизирует прибыль. Это означает, что при производстве 50 единиц продукции фирма работает оптимально с точки зрения получения максимальной прибыли.

Шаг 5: Вычислим прибыль (опционально)

Для проверки можно рассчитать прибыль (( \pi )): [ \pi = TR - TC ] Где:

• ( TR ) — валовый доход (( TR = P \cdot Q )),
• ( TC ) — общие издержки (( TC = 0,1Q^2 + 15Q + 10 )).

1. Найдем ( TR ): [ TR = P \cdot Q = 25 \cdot 50 = 1250 ]

2. Найдем ( TC ): [ TC = 0,1Q^2 + 15Q + 10 = 0,1(50)^2 + 15(50) + 10 ] [ TC = 0,1 \cdot 2500 + 750 + 10 = 250 + 750 + 10 = 1010 ]

3. Вычислим прибыль: [ \pi = TR - TC = 1250 - 1010 = 240 ]

Таким образом, при объеме производства ( Q = 50 ) фирма получает прибыль в размере 240 денежных единиц.

Ответ:

Объем производства продукции, который выберет фирма, равен ( Q = 50 ) единиц.

Для решения задачи о выборе объема производства в условиях совершенной конкуренции, необходимо определить, какой объем продукции максимизирует прибыль фирмы. Прибыль фирмы можно рассчитать как разницу между общими доходами и общими издержками.

1. Определим функцию общих доходов (TR): Общий доход (TR) равен произведению цены (P) на объем производства (Q): [ TR = P \times Q = 25Q ]

2. Определим функцию общих затрат (TC): Функция общих затрат (TC) задана в задаче: [ TC = 0,1Q^2 + 15Q + 10 ]

3. Рассчитаем прибыль (π): Прибыль можно выразить как: [ \pi = TR - TC = 25Q - (0,1Q^2 + 15Q + 10) ] Упростим это выражение: [ \pi = 25Q - 0,1Q^2 - 15Q - 10 = -0,1Q^2 + 10Q - 10 ]

4. Найдем максимальную прибыль: Для этого необходимо найти первую производную прибыли и приравнять её к нулю: [ \frac{d\pi}{dQ} = -0,2Q + 10 ] Приравниваем к нулю и решаем уравнение: [ -0,2Q + 10 = 0 \implies 0,2Q = 10 \implies Q = \frac{10}{0,2} = 50 ]

5. Проверим условия второго порядка: Чтобы убедиться, что найденный объем действительно максимизирует прибыль, нужно проверить вторую производную: [ \frac{d^2\pi}{dQ^2} = -0,2 ] Поскольку вторая производная отрицательна, мы подтверждаем, что функция прибыли имеет максимум при ( Q = 50 ).

6. Проверяем, является ли это оптимальным выбором: В условиях совершенной конкуренции фирма будет производить такой объем, при котором цена равна предельным издержкам (MC). Предельные издержки можно найти, взяв первую производную от функции общих затрат (TC): [ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 0,2Q + 15 ] Подставим найденное значение ( Q = 50 ): [ MC = 0,2 \times 50 + 15 = 10 + 15 = 25 ] Цена товара равна 25, что совпадает с предельными издержками. Это подтверждает правильность нашего вывода.

Таким образом, объем производства продукции, который выберет фирма, составляет 50 единиц.