Вопрос 11:
Билеты в кинотеатр продаются по 400 руб., и при данной цене кинотеатр посещают 200 человек в день. Управляющий кинотеатром считает, что спрос на билеты высокоэластичен с показателем эластичности равным (-4). Насколько возрастет объем спроса при снижении цены с 400 до 350 руб? Что произойдет с общей суммой дохода?
Решение:
Определим процентное изменение цены:
[
\Delta P = \frac{350 - 400}{400} \times 100\% = -12.5\%
]
Используем формулу эластичности спроса:
[
E_d = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P}
]
где ( E_d = -4 ), (\Delta P / P = -12.5\% ).
Определим процентное изменение объема спроса:
[
\Delta Q / Q = E_d \times \Delta P / P = -4 \times (-12.5\%) = 50\%
]
Вычислим новый объем спроса:
[
Q{\text{нов}} = Q{\text{стар}} \times (1 + \Delta Q / Q) = 200 \times (1 + 0.5) = 300 \text{ человек}
]
Определим общий доход до и после изменения цены:
До изменения цены:
[
TR_{\text{стар}} = P \times Q = 400 \times 200 = 80,000 \text{ руб.}
]
После изменения цены:
[
TR{\text{нов}} = P{\text{нов}} \times Q_{\text{нов}} = 350 \times 300 = 105,000 \text{ руб.}
]
Вывод: При снижении цены с 400 до 350 руб. объем спроса возрастет на 50% до 300 человек, а общий доход увеличится с 80,000 до 105,000 руб.
Вопрос 12:
Функция спроса: ( P = 200 - 0.4Q ).
1) При каком уровне цен (50, 100 или 150 руб. за билет) будет максимизирована выручка концертного зала? Какова будет её величина?
Функция выручки (TR):
[
TR = P \times Q = (200 - 0.4Q) \times Q = 200Q - 0.4Q^2
]
Найдем производную функции выручки (MR) и приравняем её к нулю для нахождения максимума:
[
MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 200 - 0.8Q = 0
]
[
Q = 250
]
Найдем соответствующую цену:
[
P = 200 - 0.4 \times 250 = 100 \text{ руб.}
]
Максимальная выручка:
[
TR_{\text{макс}} = 200 \times 250 - 0.4 \times 250^2 = 25,000 \text{ руб.}
]
2) Определите общий излишек потребителей, соответствующий цене 80 руб., и объясните, почему ни один из зрителей не будет иметь излишка больше, чем 120 руб.
Найдем количество билетов, продаваемых по цене 80 руб.:
[
80 = 200 - 0.4Q
]
[
Q = 300
]
Излишек потребителя (CS):
[
CS = \int_{0}^{Q} (200 - 0.4Q) dQ - P \times Q
]
[
CS = \left[ 200Q - 0.2Q^2 \right]_{0}^{300} - 80 \times 300
]
[
CS = (200 \times 300 - 0.2 \times 300^2) - 24,000
]
[
CS = 60,000 - 18,000 - 24,000 = 18,000 \text{ руб.}
]
Почему ни один из зрителей не будет иметь излишка больше, чем 120 руб.?
Максимальный излишек потребителя получается у первого покупателя, который бы заплатил максимальную цену (200 руб.):
[
CS{\text{макс}} = P{\text{макс}} - P_{\text{факт}} = 200 - 80 = 120 \text{ руб.}
]
Вопрос 13:
Даны функции спроса и предложения: ( Q_D = 8000 - 12P ); ( Q_S = 4P - 750 ). Найти величину дефицита (или перепроизводства) и цену «черного рынка» при введении государственной цены ( P_G = 500 ).
Решение:
Спрос при ( P = 500 ):
[
Q_D = 8000 - 12 \times 500 = 2000
]
Предложение при ( P = 500 ):
[
Q_S = 4 \times 500 - 750 = 1250
]
Дефицит:
[
\text{Дефицит} = Q_D - Q_S = 2000 - 1250 = 750
]
Цена "черного рынка": Для определения цены на "черном рынке" нужно решить уравнение, где спрос равен предложению:
[
8000 - 12P = 4P - 750
]
[
8750 = 16P
]
[
P = 546.875 \text{ руб.}
]
Вопрос 14:
Функция предложения телевизоров: ( Q_S = 4P - 80 ); спроса на них ( Q_D = 320 - P ). Правительство установило налог ( t = 10 \text{ руб.} ) на каждую единицу продаж.
1) Параметры равновесия до введения налога:
2) Параметры равновесия после введения налога:
После налога:
- Цена для покупателей ( P_b )
- Цена для продавцов ( P_s = P_b - 10 )
[
Q_D = 320 - P_b
]
[
Q_S = 4(P_b - 10) - 80 = 4P_b - 120
]
[
Q_D = Q_S
]
[
320 - P_b = 4P_b - 120
]
[
440 = 5P_b
]
[
P_b = 88 \text{ руб.}
]
[
P_s = 88 - 10 = 78 \text{ руб.}
]
[
Q = 320 - 88 = 232 \text{ единиц}
]
3) Распределение налогового бремени:
Налоговое бремя на покупателей:
[
\Delta P_b = P_b - P = 88 - 80 = 8 \text{ руб.}
]
Налоговое бремя на продавцов:
[
\Delta P_s = P - P_s = 80 - 78 = 2 \text{ руб.}
]
4) «Мертвый груз» и потери потребителей и производителей:
Потери потребителей:
[
\Delta \text{CS} = \frac{1}{2} \times (Pb - P) \times (Q{\text{до}} - Q_{\text{после}})
]
[
\Delta \text{CS} = \frac{1}{2} \times 8 \times (240 - 232) = 32 \text{ руб.}
]
Потери производителей:
[
\Delta \text{PS} = \frac{1}{2} \times (P - Ps) \times (Q{\text{до}} - Q_{\text{после}})
]
[
\Delta \text{PS} = \frac{1}{2} \times 2 \times (240 - 232) = 8 \text{ руб.}
]
«Мертвый груз» (DWL):
[
DWL = \frac{1}{2} \times t \times (Q{\text{до}} - Q{\text{после}})
]
[
DWL = \frac{1}{2} \times 10 \times (240 - 232) = 40 \text{ руб.}
]
Вывод: До введения налога равновесная цена была 80 руб., объем 240 единиц. После налога равновесная цена для покупателей стала 88 руб., для продавцов 78 руб., объем 232 единицы. Налоговое бремя распределяется на 8 руб. для покупателей и 2 руб. для производителей. Потери потребителей составляют 32 руб., производителей 8 руб., мертвый груз 40 руб.
